
\prob{0082}{准Fermat定理}

对于正整数$n > 2$，有如下关于$x, y, z$的方程：
\[ n^x + n^y = n^z \]
证明该方程无正整数解。
\problabels{yellow/数论, green/证明题}

\subsection{不等式}

将原方程变形为
\[ n^{x - z} + n^{y - z} = 1 \]
而$x, y, z$为正整数，故显然不可能有$x \ge z$或$y \ge z$，故$x < z$且$y < z$，于是$x - z \le -1, y - z \le -1$。由此知
\[ n^{x - z} + n^{y - z} \le n^{-1} + n^{-1} \le 3^{-1} + 3^{-1} = \frac23 \]
故$n^{x - z} + n^{y - z}$不可能等于1，即原方程无正整数解。证毕。
